Probabilidade em conjuntos infinitos
Resumo
O presente trabalho foi realizado durante o projeto de pesquisa "Regularidade de soluções de equações parabólicas degeneradas e singulares", com apoio do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) e tem por objetivo mostrar como é possível atribuir probabilidades a subconjuntos de um espaço amostral infinito. Em particular, mostramos que a probabilidade de “sortear” um número racional qualquer do intervalo [0,1] é zero. Para embasar nosso trabalho, utilizamos especialmente os livros de Análise Real do Elon Lages Lima e Probabilidade: um curso em nível intermediário do Barry R. James. De acordo com o Portal da OBMEP, no caso de espaços finitos e equiprováveis, a probabilidade de um evento ocorrer é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, mas essa ideia não é aplicável em um espaço amostral infinito. Um conjunto X é finito se tem um número limitado de elementos, isto é, se existe um número natural n e uma correspondência um a um entre o conjunto X é o conjunto {1,2,3,…, n}. Um conjunto infinito tem um número ilimitado de elementos ilimitados, ou seja, não é finito (no sentido que para qualquer que seja o número natural n escolhido, não existe uma bijeção entre X e {1,2,3, … n}). Inicialmente, para facilitar a compreensão, vejamos um exemplo. Ao jogar um dado, não viciado, ao acaso, a probabilidade de este ficar com a face com o número dois virada para cima é de uma em seis, já a de retirar um número par é de cinquenta por cento. Neste contexto, o espaço amostral é o conjunto {1,2,3,4,5,6} e é intuitivo perceber as seguintes propriedades: 1. não negatividade, na qual a probabilidade de qualquer evento deve ser um número não negativo, em outras palavras, P(A) ≥ 0 para qualquer evento A. 2. a normalização, cuja a soma das probabilidades de todos os eventos elementares de um espaço amostral deve ser igual a um. 3. tendo S como espaço amostral e {Aᵢ} é uma partição de S, então Σ P(Aᵢ) = 1, ou seja, se {Aᵢ} é uma coleção enumerável de eventos mutuamente exclusivos, então a probabilidade da união desses eventos é igual à soma das probabilidades individuais. Quando o espaço amostral é infinito, como o intervalo [0,1] dos números reais, não podemos usar a ideia de uma razão de “casos favoráveis” por “número de casos possíveis”, pois ambos podem ser infinitos. Neste caso, temos que recorrer a outra estratégia para definir uma função de probabilidade para subconjuntos do intervalo [0,1]. Estas estratégias nos levam na direção dos estudos de teoria da medida, em particular, da medida de Lebesgue e nos deparamos com resultados essenciais para outras áreas da matemática tais como Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferenciais e tantas outras que se amparam na medida de Lebesgue.
