Uma família de conjuntos de Cantor

Resumo

Este trabalho apresenta parte dos estudos realizados dentre as atividades do Projeto de Pesquisa “Decaimento de soluções de Equações de Meios Porosos com termos advectivos”, o qual, através de pesquisas bibliográficas e seminários presenciais, proporciona aos alunos da Licenciatura em Matemática do IFRS - Campus Canoas um contato com a matemática pura, a fim de explorá-la e compreendê-la, não como um amontoado de fórmulas e regras, mas como uma ciência exata, construída através de postulados observados e teoremas demonstrados. Para isso, o projeto é desenvolvido através de duas atividades principais: um seminário de Álgebra Linear, com tópicos complementares aos discutidos na disciplina de mesmo nome ofertada no terceiro semestre de curso, ministrado pela bolsista do projeto e que conta, atualmente, com 3 discentes participantes (este seminário ocorre uma vez por semana, com duração de 2h); e uma pesquisa bibliográfica sobre tópicos de análise, equações diferenciais parciais e álgebra linear, desenvolvida pela bolsista, com supervisão do professor orientador. Neste trabalho, trataremos do conjunto de Cantor e alguns conjuntos semelhantes. O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1], definido como o limite de um processo iterativo. Sua construção é feita por indução matemática em que, inicialmente, retira-se o terço médio do intervalo [0,1], restando dois intervalos [0,⅓] e [⅔,1]. Em seguida, retira-se o terço médio de cada um destes intervalos, e assim sucessivamente. No enésimo passo, é retirado o terço médio de cada um dos 2^(n-1) intervalos obtidos ao realizar-se o passo n-1. Neste trabalho, mostramos que Conjunto de Cantor é um conjunto fechado, infinito não-enumerável e tem medida nula. Além disso, construímos outros conjuntos de Cantor, em que é retirado, em cada etapa, um intervalo de tamanho proporcional (com uma constante de proporcionalidade qualquer) do centro dos intervalos das etapas anteriores. Estes outros conjuntos de Cantor têm as mesmas propriedades de conjunto de Cantor clássico.