Séries de Taylor e funções analíticas: o caso da função exponencial

  • Vinícius Weite Thomé Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) - Campus Canoas. Canoas, RS
  • Bruno Brogni Uggioni Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) - Campus Canoas. Canoas, RS
  • Nicolau Matiel Lunardi Diehl Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) - Campus Canoas. Canoas, RS
Palavras-chave: Séries de Taylor, Funções Analíticas, Número de Euler

Resumo

O presente trabalho apresenta parte dos estudos realizados pelo bolsista no
Programa de Iniciação Científica e Mestrado (PICME) da Olimpíada
Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Este programa tem
como objetivo propiciar aos estudantes universitários, que se destacaram
nas Olimpíadas de Matemática, o acesso a uma sólida formação
matemática que enriqueça o seu desenvolvimento profissional. Mais
especificamente, por estar inserido na área de Matemática Pura, as
atividades da bolsa compreendem estudos de Álgebra Linear e Análise Real,
que são realizados através da preparação e apresentação de seminários
por parte do bolsista e da resolução de problemas matemáticos de ambas as
áreas. Essas atividades são realizadas em conjunto com os bolsistas do
projeto de pesquisa 'Decaimento de soluções de Equações de Meios Porosos
com termos advectivos'. Neste trabalho, apresentaremos uma discussão a
partir da definição do número de Euler como um limite. Seja a sequência
cujo o n-ésimo termo é (1+1/n)^n, seu limite é um número irracional e
que é chamado de Constante de Euler. Além disso, esta sequência tem o
mesmo limite da sequência cujo n-ésimo termo é (1+1/1!+...+1/n!), o que
tem relação com a expansão em série de Taylor da função exponencial
e^x. Seja uma função f com domínio em um intervalo I e contradomínio em
toda a reta, n vezes derivável, a Fórmula de Taylor Infinitesimal permite
aproximar nas vizinhanças de um ponto do domínio, através de um
polinômio de grau n (que é chamado de polinômio de Taylor). Assim, para
todo h tal que (a+h) pertença ao domínio da função, podemos escrever:
f(a+h)=p(h)+r(h), onde p(h) é o Polinômio de Taylor e vale
lim[r(h)/(h^n)]=0, quando h tende a 0. Porém, se esta função for
infinitamente derivável, podemos expandir o Polinômio de Taylor como sendo
uma série infinita, no qual o n-ésimo termo é escrito como a n-ésima
derivada de f aplicada no ponto a multiplicado pela razão (h^n)/(n!).
Porém esta série pode convergir ou divergir e, mesmo se convergir pode
resultar em algo diferente de f(a+h). Com isso, uma função com as
condições acima é dita analítica quando, para cada ponto a do domínio
existe r>0 tal que sua série de Taylor converge para f(a+h), desde que o
módulo de h seja inferior a r. Visto que todas as derivadas da função
f(x)=e^x são iguais a essa mesma função, sua expansão em série de
Taylor é e^x=1+x+...+(x^n)/(n!)+... , além disto esta função é
analítica. Se calcularmos f(1) considerando também esta expansão,
obtemos: e=1+1+1/2+1/3!+...+1/n!+..., o que coincide com o obtido no
cálculo do limite da exponencial anteriormente.

Biografia do Autor

Vinícius Weite Thomé, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) - Campus Canoas. Canoas, RS
Graduando em Licenciatura em Matemática em IFRS - Canoas
Publicado
2019-04-30
Seção
[Pesquisa] Resumos nível superior